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Espacios. Vol. 37 (Nº 33) Año 2016. Pág. 13

O software Maple como ferramenta auxiliar no processo Ensino-Aprendizagem de cálculo para alunos do curso de administração

The Maple software as auxiliary instrument in the process of calculus teaching-learning for the students from the administration course

Edinéia ZARPELON 1; Eloá Dei Tós GERMANO 2; Sani de Carvalho Rutz da SILVA 3; Luis Mauricio Martins de RESENDE 4; Marcos Cesar Danhoni NEVES 5

Recibido: 15/07/16 • Aprobado: 13/08/2016

Conteúdo

1. Introdução

2. Importância das Tics no ensino de matemática

3. Uma possibilidade de mudança: A utilização do Maple nas aulas de cálculo

4. Descrição do percurso metodológico

5. Análise e discussão dos resultados

6. Considerações finais

Referências Bibliográficas

1. Introdução

Os conteúdos relacionados à disciplina de Cálculo constituem-se como importantes ferramentas para análise de grandezas, tomada de decisões e busca por soluções de problemas práticos (entretanto cada vez mais complexos!) com os quais as instituições, empresas ou organizações precisam lidar cotidianamente.  Dessa forma, o tratamento destes tópicos em cursos superiores de Administração mostra-se, em alguma medida, relevante uma vez que os futuros profissionais dessa área deverão ser cada vez mais flexíveis e precisarão demonstrar as competências necessárias para lidar com as constantes transformações sociais que requerem decisões rápidas e certeiras, algo que tem se mostrado corriqueiro nos ambientes da gestão e dos negócios.

Em uma instituição de Ensino Superior, localizada no município de Pato Branco e que constituí o local de aplicação deste estudo, os futuros administradores possuem em sua grade curricular a disciplina de Matemática Aplicada à Administração, a qual grande parte da ementa resume-se aos conteúdos abordados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1: funções de uma variável real, limites, derivadas e integrais.

Nos últimos cinco anos 294 alunos foram matriculados na disciplina, que é ofertada em caráter anual, entretanto apenas 36% destes foram aprovados. Cabe ressaltar que, durante este período, a disciplina não ficou a cargo de um único professor; seis docentes atuaram nas sete turmas ofertadas.  Dessa forma, acredita-se que o elevado número de reprovações na disciplina é reflexo das dificuldades encontradas pelos estudantes frente aos conteúdos supracitados e evidencia a necessidade de que mudanças sejam realizadas a fim de amenizar tal problema.

Várias pesquisas almejam determinar os fatores que dificultam o processo de ensino-aprendizagem de Cálculo e contribuem para a permanência deste quadro, caracterizado pelo número excessivo de reprovações na disciplina. Dentre elas, o estudo realizado por Garzella (2013) indica que o fracasso dos acadêmicos decorre da forma rígida e pouco flexível em que a disciplina está organizada, bem como das práticas pedagógicas adotadas pelos docentes. O trabalho de Barbosa (2004) enfatiza em parte essa concepção, uma vez que o autor associa o insucesso acadêmico ao sistema didático em que a disciplina está amparada.

Numa outra perspectiva, os trabalhos desenvolvidos por Cavasotto e Viali (2011), Menestrina e Moraes(2011) e Rehfeldt et al.(2012) apontam que o principal agravante está associado à má formação básica dos acadêmicos. Ou seja, os alunos não dominam os conteúdos matemáticos dos ensinos fundamental e médio, o que aumenta a probabilidade dos mesmos não terem êxito nas disciplinas exatas do ensino superior.

Os fatores envolvidos nessa problemática são inúmeros e para combater tal situação são necessárias mudanças nas posturas docente e discente. O professor precisa planejar e desenvolver formas diferenciadas para sanar (ou pelo menos amenizar) as deficiências da formação pré-universitária, buscando trabalhar as individualidades e potencialidades de cada aluno.

Por outro lado, o aluno deve deixar a postura passiva, a dependência excessiva em relação ao professor e buscar superar as lacunas que traz, encontrar formas alternativas de estudar, de solucionar suas dúvidas, enfim construir efetivamente seu próprio conhecimento, de forma cada vez mais autônoma. Ou seja, “há necessidade de o aluno deixar sua passividade e o professor deixar de ser o centro do processo” (Masetto, 2003, p.79).

Deste modo, acredita-se que uma das maneiras de incentivar essa autonomia acadêmica se dá pelo emprego das novas tecnologias da informação e comunicação (NTIC ou TIC) em sala, uma vez que estamos inseridos em uma sociedade cada vez mais tecnológica, em que qualquer informação pode ser obtida em segundos por meio de um computador, celular ou tablet. Essas tecnologias são facilitadoras do processo ensino-aprendizagem, visto que, “transformam espetacularmente não só nossas maneiras de comunicar, mas também de trabalhar, de decidir, de pensar” (PERRENOUD, 2000, p.123) e “oferecem recursos em que a representação de processos abstratos passa a ter caráter dinâmico e isso tem reflexos nos processos cognitivos, particularmente no que diz respeito às concretizações mentais.” (KAIBER e RENZ, 2008, p.115)

Nesse contexto, pensou-se em utilizar o software Maple nas aulas de Matemática Aplicada à Administração como uma ferramenta auxiliar para a abordagem dos tópicos de Cálculo, visto que existem relatos de que as tecnologias de informação e comunicação no ensino e aprendizagem dessa disciplina são relevantes, conforme se percebe no discurso de Palis (1995) quando este afirma que:

[...] tem-se constatado que algumas mudanças na qualidade do aprendizado dos alunos ocorrem simplesmente porque eles participam mais ativamente em aulas ou trabalhos apoiados em computadores e/ou calculadoras, seguem o curso mais de perto e fazem mais perguntas, do que em ambientes de ensino tradicionais. (PALIS, 1995, p.25)

Os pesquisadores Escher e Miskulin (2010), também realçam outro ponto positivo do uso dessas tecnologias no ensino de tópicos de Cálculo Diferencial e Integral. De acordo com eles:

a utilização de novas dinâmicas e/ou ferramentas tecnológicas em aulas tradicionais das disciplinas de graduação auxiliam a desvendar algumas dificuldades com que os alunos enfrentam ao se depararem principalmente com novos conteúdos não trabalhados no Ensino Fundamental e Médio. (ESCHER e MISKULIN, 2010, p. 04)

Nesta perspectiva, acredita-se que o maior obstáculo frente à disciplina em questão ocorre quando o aluno se depara com o conteúdo de limites, uma vez que os alunos já trazem suas concepções prévias sobre funções (conteúdo visto durante o Ensino Médio e portanto, pré-requisito para a abordagem de limites).

Assim, diante da premissa de que esse tópico se caracteriza como um “divisor de águas” e que o mesmo é fundamental para o desenvolvimento adequado da sequência de conteúdos dessa disciplina, surge uma indagação: Frente às diferentes abordagens realizadas para a determinação do limite de uma função, será que os acadêmicos conseguem estabelecer relações entre elas? Além disso, será possível abordar os conteúdos dessa disciplina de forma diferenciada, a fim de amenizar o impacto causado pela mesma aos alunos ingressantes no curso de Administração e possibilitando a ocorrência da aprendizagem?

Buscando encontrar respostas para estas questões foram desenvolvidas algumas atividades, com o intuito de identificar se os acadêmicos são capazes de determinar o limite de uma função considerando três frentes:

1. estimativa através da construção de tabelas com aproximações laterais;
2. construção manual do gráfico, a partir da análise da lei de formação da função e estudo algébrico da mesma (incluindo levantamento de indeterminações);
3. construção e  análise gráfica, por intermédio do software.

Para a realização das atividades associadas às duas primeiras frentes citadas anteriormente, foram utilizadas quatro aulas da disciplina, cada uma delas com duração de 50 minutos. Inicialmente, duas aulas foram destinadas ao preenchimento das tabelas de aproximações laterais e discussão dos resultados obtidos. Num outro momento, após a formalização do conceito de limite, explanação de suas propriedades e resolução de diversos exercícios pelo método algébrico, outras duas aulas foram destinadas à construção e análise gráfica. Nestas duas etapas, os acadêmicos receberam cópias impressas com as atividades, sendo que as mesmas deveriam ser entregues ao final da aula.

Quanto ao último bloco de atividades, foi necessária uma aula de 50 minutos para a conclusão do mesmo. Ressalta-se ainda que foram destinadas duas aulas para um minicurso introdutório sobre o Maple, a fim de apresentar essa ferramenta aos estudantes e dar suporte para que os mesmos se familiarizassem com a interface do software.

Em resumo, foram utilizadas sete aulas da disciplina para o desenvolvimento desta proposta, sendo o público-alvo constituído por 19 acadêmicos do segundo ano do curso de Administração, matriculados na disciplina de Matemática Aplicada à Administração no ano de 2014, de uma instituição de Ensino Superior do município de Pato Branco. 

Cabe ressaltar ainda que a utilização do Maple foi motivada pela premissa de que a tecnologia é uma aliada nesse processo, e que a mesma pode potencializar o ensino de Matemática e contribuir com a aprendizagem dos acadêmicos, uma vez que possibilita a participação mais efetiva dos alunos.

2. Importância das tics no ensino de matemática

Houve um período de nossa história em que o ensino, em especial de Matemática, estava associado a algo estático, baseado em formalidades excessivas e determinado por uma sequência estanque de possibilidades. Este processo era intermediado exclusivamente pela utilização do quadro negro ou da lousa, com o professor ministrando suas aulas seguindo um “sagrado” ritual de apresentação do conteúdo: definições, propriedades, exemplos e exercícios. Ao deparar-se com dúvidas de alunos, as mesmas eram acatadas seguindo novamente a mesma sequência criteriosamente determinada.

Atualmente esta abordagem ainda está presente, entretanto em alguns momentos tem se revelado ineficaz e ultrapassada, uma vez que estamos inseridos em uma sociedade onde o acesso a informação tem se ampliado consideravelmente e praticamente a tudo em nossa volta é impactado pela tecnologia. 

Desta forma, nos dias atuais, a exploração de recursos computacionais, em sala de aula, faz-se necessária, a fim de que a educação cumpra seu papel de preparar o indivíduo para a vida social e para o mundo do trabalho, em um contexto onde a tecnologia se faz cada vez mais presente. (KAIBER e RENZ, 2008, p.114)

As instituições de ensino também não podem ficar omissas a tais mudanças, num mundo paralelo, distante desse contexto. Consequentemente, o professor também não pode permanecer indiferente. Todavia, Machado (2011) pontua sobre a necessidade de não “endeusar” o computador, uma vez que esta é uma ferramenta extremamente limitada do ponto de vista cognitivo. Ou seja, é

uma máquina que opera com informações, que transforma mensagens de entrada em mensagens de saída. Não se pode, no entanto, introduzir neste equipamento as informações de uma forma qualquer; é preciso saber comunicar-se com a máquina, saber interpretar suas respostas. (MACHADO, 2011, p. 227)

Em relação ao ensino de Matemática, Fiorentini (2009) relata que o interesse de educadores matemáticos para a utilização de calculadoras e audiovisuais como recurso de ensino e aprendizagem se intensificou por volta de 1970. Em seguida, esse esforço foi ampliado com o surgimento de outras tecnologias como o computador, a televisão e a internet. Assim, a partir da década de 90, define-se TICs como uma terminologia do meio educacional. O pesquisador esclarece ainda que,

as TICs resultam da fusão das tecnologias de informação, antes referenciadas como informática, e as tecnologias de comunicação, denominadas anteriormente como telecomunicações e mídia eletrônica. Elas envolvem a aquisição, o armazenamento, o processamento e a distribuição da informação por meios eletrônicos e digitais, como rádio, televisão, telefone e computadores. (FIORENTINI, 2009, p. 45)

A utilização das TICs no ensino de Matemática permite que se aborde diversos conteúdos de forma integrada e que se modele problemas reais a partir de funções matemáticas. Em 1985, Papert afirmava que:

algumas de nossas dificuldades em ensinar matemática de uma maneira culturalmente integrada devem-se a um problema objetivo: antes dos computadores, havia pouquíssimos bons pontos de contato entre o que é mais fundamental e envolvente na matemática e qualquer coisa existente na vida cotidiana. Mas o computador – um ser com linguagem matemática fazendo parte do dia-a-dia da escola, dos lares e do ambiente de trabalho – é capaz de fornecer esses elos de ligação. O desafio à educação é descobrir meios de explorá-los (PAPERT, 1985, p.68);

O desafio estava posto: como explorar os recursos computacionais, possibilitando a ocorrência da aprendizagem de alguns tópicos de Cálculo e ao mesmo tempo, diante de um mundo cada vez mais tecnológico, colaborar com a formação do futuro administrador para que o mesmo tenha condições de desenvolver as habilidades e competências necessárias ao mercado do trabalho?

3. Uma possibilidade de mudança: a utilização do Maple nas aulas de cálculo

O software Maple foi desenvolvido pela Universidade de Waterloo (Canadá) em parceria com o Instituto ETH (Suíça). É uma ferramenta utilizada principalmente nas áreas de engenharia, matemática e física que possibilita uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos, quer seja através da resolução algébrica, quer seja através da interpretação geométrica. 

Segundo Cruz (2008), o Maple é sistema matemático simbólico interativo, possuindo recursos extraordinários para resolver questões como cálculo algébrico, interpretação de conceitos, visualização gráfica, modelagem de problemas, etc.

Os conteúdos matemáticos que podem ser explorados são inúmeros, desde os mais elementares, como as quatro operações, resolução de equações e inequações, limite, continuidade, derivada, integral, até conteúdos mais elaborados que envolvem, por exemplo, funções de várias variáveis.

Assim, diante da grande gama de tópicos que podem ser trabalhados, por possuir uma interface que permite sua manipulação sem grandes dificuldades e mediante a análise de que o software iria contemplar as necessidades e objetivos almejados, optou-se pela utilização do Maple para que os acadêmicos do curso de Administração, matriculados na disciplina de Matemática Aplicada à Administração, realizassem algumas atividades relacionadas ao conteúdo de limites.  

Ressalta-se que importantes aplicações do Cálculo na Administração como lucro marginal, receita marginal e custo marginal (necessárias para estimar a variação do lucro, da receita e do custo em relação à quantidade produzida, por exemplo) estão associados à derivada, cuja definição está diretamente ligada ao conceito de limite.

Analogamente, importantes aplicações de integrais em economia e administração como por exemplo a noção de excedente (excedente do consumidor, excedente do produtor) e valores futuro e presente de um fluxo de renda em uma capitalização contínua também se fundamentam na ideia de limite, conforme consta em Larson (2011).

Em resumo, ambos os conceitos, de derivada e integral, são definidos por processos de limites. A noção de limite é a idéia inicial que separa o Cálculo da Matemática elementar (Kaiber e Renz, 2008), o que justifica a escolha do conteúdo para o desenvolvimento dessa pesquisa.

Há de se considerar ainda que praticamente todo conteúdo abordado nesta disciplina está amparado no estudo de funções. Estas, por sua vez, são abordadas ainda no Ensino Médio, sob duas formas: algébrica e geométrica. Entretanto, Borba (2012) coloca que,

usualmente, a ênfase para o ensino de funções se dá via álgebra. Assim, é comum encontrarmos em livros didáticos um grande destaque para a expressão analítica de uma função e quase nada para os aspectos gráficos ou tabulares. Tal destaque muitas vezes está ligado à própria mídia utilizada. Sabemos que é difícil a geração de diversos gráficos num ambiente em que predomina o uso de lápis e papel e, então, faz sentido que não se dê muita ênfase a esse tipo de representação. (Borba, 2012, p. 31)

Essa ênfase analítica pontuada pelo pesquisador também reflete a forma com que o conteúdo de funções é trabalhado no ensino superior. Muitas vezes a análise gráfica ocorre de forma superficial e se restringe a pouquíssimos casos: função afim, quadrática, modular, exponencial, logarítmica. Funções descritas por expressões algébricas mais sofisticadas não são analisadas por meio do gráfico que as descreve. Isso compromete o aprendizado, uma vez que a construção de gráficos possibilitaria que os alunos percebessem similaridades e/ou diferenças e investigassem propriedades relacionadas às funções.

O referido autor ainda coloca que, por volta dos anos 90, diversos autores (Borba e Confrey, 1996; Borba, 1995; Kaput, 1987; Eisenberg e Dreyfus, 1991) questionaram a abordagem dada ao ensino de funções e enfatizaram a importância de se trabalhar de forma integrada com as múltiplas formas de representação destas: expressão algébrica, o gráfico e a tabela. Isto é, esses autores defendiam uma nova abordagem, em que essas formas de representação estivessem integradas. Todavia, essa nova abordagem só ganha força com ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas. (Borba, 2012, p.32)

Fazendo uso desses ambientes computacionais, o tempo demandado para a construção de gráficos e cálculos repetitivos será reduzido, permitindo que o aluno possa explorar diversos exemplos, formular suas próprias conjecturas, testar suas hipóteses, buscar soluções verificando sua pertinência ou refutando-a, enfim, investigar. Assim, a experimentação se torna algo fundamental, invertendo a ordem de exposição oral da teoria, exemplos e exercícios bastante usuais no ensino tradicional e permitindo uma nova ordem: investigação e, então, a teorização. (Borba e Penteado, 2003, p.41)

Nesse contexto, o professor passa a ser um mediador do processo educativo, estimulando os alunos a analisarem e obterem suas próprias conclusões, intervindo diante de algum equívoco, formulando questionamentos que facilitem o processo de assimilação e aquisição do conhecimento.

Convém ressaltar que, conforme nos alerta Taneja (1997) o computador não deve ser inserido na educação como uma máquina de ensinar, deve ser usado como uma informatização construcionista que permita reflexão e construção de ideias a partir da relação professor, computador e aluno.

4. Descrição do percurso metodológico

A motivação para a utilização do software Maple surgiu após a constatação do baixo desempenho obtido por alunos de turmas anteriores matriculados na disciplina de Matemática Aplicada à Administração da instituição que caracteriza o lócus desta pesquisa. Tal constatação se deu através da consulta aos diários de desempenho da disciplina, nos anos de 2012 e 2013 disponível no sistema acadêmico da instituição e cujo acesso é permitido a uma das pesquisadoras, que é professora da referida instituição. Nestes anos, os índices de aprovação foram de 11% e 33,5% respectivamente.

Em conversas com professores que já haviam lecionado essa disciplina os mesmos relataram que os obstáculos eram inúmeros. Pelo fato do curso ser noturno, a maioria dos acadêmicos trabalhavam e, consequentemente, não tinham tempo suficiente para se dedicar à disciplina, resolver exercícios e tirar suas dúvidas junto ao professor em momentos extraclasse. Outro agravante era que, além das dificuldades inerentes ao conteúdo da disciplina, a maioria dos alunos apresentava lacunas associadas à matemática básica e não conseguiam perceber relações entre subáreas diferentes que se complementavam, como Álgebra e Geometria. Na turma de 2013, em que uma das pesquisadoras atuou como docente, era corriqueiro encontrar alunos que resolviam corretamente um sistema linear de ordem 2 ou determinavam as raízes de uma função qualquer mas não sabiam o que isto significava graficamente. E no momento em que o esboço de gráficos era solicitado era perceptível a aversão e descontentamento dos alunos.

Particularmente, em relação ao cálculo de limites, havia a suposição de que essa dificuldade de estabelecer as relações entre o algébrico (cálculo do limite, incluindo o desenvolvimento das técnicas para o levantamento de indeterminação) e o geométrico (esboço do gráfico, interpretação e identificação do limite de uma função a partir deste) se confirmaria. E buscando indicativos para verificar isso, foram elaboradas e aplicadas algumas atividades, em três momentos distintos, conforme descrito no Quadro 01.

Quadro 01: Processo Metodológico

Fonte: Autoria própria (2015)

Em síntese, pensou-se em trabalhar com o conteúdo de limites por meio de atividades que englobassem três abordagens distintas: estimativas por aproximações laterais, desenvolvimento algébrico e análise gráfica, sendo esta última desenvolvida de duas formas: esboços manuais e, em seguida, com a utilização do software Maple.

A abordagem neste estudo foi qualitativa, de natureza interpretativa e com observação participante. As atividades foram realizadas com 19 acadêmicos do curso de Administração de uma instituição de Ensino Superior do município de Pato Branco, matriculados na disciplina de Matemática Aplicada à Administração.  

Após o término das etapas descritas no Quadro 01 foi aplicado um questionário junto aos alunos a fim de verificar a opinião dos mesmos sobre a utilização do software Maple nas aulas da disciplina.

5. Análise e discussão dos resultados

Bloco de atividades 01: Noção de proximidade e limites laterais

O primeiro bloco de atividades, composto por três questões, tinha como objetivo averiguar a noção de “cada vez mais próximo” apresentada pelos alunos e, a partir disso, verificar se os mesmos seriam capazes de inferir o limite de algumas funções através do cálculo de aproximações laterais.

As questões, bem como os resultados obtidos em cada uma delas, estão descritos na sequência deste estudo.

Tabela 01: Acertos da Questão 01

Fonte: Autoria própria (2015)

Observa-se, por meio da Tabela 01, que grande parte dos alunos preencheu corretamente as tabelas de aproximações laterais e obteve êxito na conclusão do exercício. A Figura 01 ilustra a solução apresentada por um dos acadêmicos.

Figura 01: Resolução da questão 01 apresentada por um dos alunos

Verifica-se também que 21% dos alunos, tiveram dificuldades para realizar as aproximações laterais, mas conseguiram (de alguma maneira) interpretar corretamente o valor do limite. Além disso, 11% deles preencheram as tabelas de forma equivocada e, consequentemente, não chegaram à conclusão certa sobre o limite da função.

Ressalta-se que esta questão era simples, pois envolvia uma função quadrática e o problema estava diretamente ligado às coordenadas do vértice da parábola associada à função. Este conteúdo é abordado no Ensino Médio e foi revisado no início do semestre, na disciplina em questão.

Tabela 02: Acertos da Questão 02

Fonte: Autoria própria (2015)

Em relação à segunda questão o número de acertos caiu consideravelmente. Apenas 21% dos alunos realizaram a análise dos limites laterais e concluíram qual era o limite da função corretamente. A Figura 02 ilustra umas dessas soluções.

Figura 02: Resolução da questão 02 apresentada por um dos alunos

Também se verifica que 9 alunos (47%) se equivocaram nos cálculos das aproximações laterais, mas conseguiram inferir o limite da função corretamente. No desenvolvimento apresentado por um dos alunos, percebe-se que o mesmo se confundiu ao considerar valores à esquerda e à direita do ponto de referência. Entretanto, os cálculos apresentados estavam corretos, o que não comprometeu a conclusão do exercício como mostra a Figura 03.

Figura 03: Resolução da questão 02 apresentada por um dos alunos

Conclusão ____________________________________________________________

Tabela 03: Acertos da Questão 03

Fonte: Autoria própria (2015)

Na terceira função analisada o número de acertos continuou significantemente pequeno, uma vez que apenas 26% dos alunos realizaram o exercício de forma eficaz. A análise dos questionários permitiu inferir que muitos alunos cometeram erros por não manusearem de forma correta a calculadora.

Bloco de atividades 02: Plotagem de gráficos (manualmente)

Após a realização do primeiro bloco de atividades, em que os acadêmicos determinaram o limite de três funções através do cálculo de aproximações laterais, foi solicitado que os mesmos esboçassem os gráficos das respectivas funções e, em seguida, estimassem o limite por meio da análise gráfica.

Na tabela 04 estão sintetizados os resultados obtidos nestas atividades.

Tabela 04: Esboço manual dos gráficos e determinação do limite

Fonte: Autoria própria (2015)

A comparação entre os dois blocos de atividades permite inferir que os alunos tiveram mais dificuldades em esboçar os gráficos das funções dadas, haja visto que os percentuais de acertos nestas questões foram inferiores aos das questões algébricas (relacionadas ao primeiro bloco de atividades).

Essa dificuldade torna-se evidente ao compararmos os resultados da questão 01, com a questão 04, ambas relacionadas à função quadrática. Na primeira questão, o percentual de acerto foi 63%, enquanto que na questão 4 (na qual o aluno deveria esboçar o gráfico e estimar o limite por meio da análise deste) apenas 21% dos acadêmicos obtiveram êxito. A maior preocupação reside no fato de que estes exercícios envolviam a análise de uma função elementar, cuja abordagem inicia-se ainda no Ensino Médio. Poucos alunos conseguiram associar a resposta obtida pelo meio algébrico (cálculo dos valores nas tabelas de aproximações laterais) com o geométrico (esboço do gráfico).

Quando comparados os desempenhos em relação às questões 2 e 5, o percentual de insucesso aumenta. A dificuldade encontrada pelos estudantes pode ser observada por meio das Figuras 04 e 05:

Figura 04: Tentativa de esboço do gráfico da questão 02 apresentada por um dos alunos

Figura 05: Tentativa de esboço do gráfico da questão 05 apresentada por um dos alunos

Por meio do esboço apresentado na Figura 04, acredita-se que pelo fato do aluno ter concluído que não existia o limite na atividade 2, o mesmo considerou que não existiria um gráfico associado à função.

Já na Figura 05, observa-se que o acadêmico supôs que a representação gráfica deveria estar associada, de alguma forma, às retas bissetrizes do primeiro e segundo quadrantes. Essa associação decorre da definição de função modular, definida por duas sentenças segundo seu domínio, sendo que para valores positivos do mesmo o gráfico consiste na reta bissetriz no primeiro quadrante, e para valores negativos do domínio o gráfico consiste na reta bissetriz do segundo quadrante. Infere-se que neste caso o gráfico foi deslocado uma unidade à direita pelo fato do aluno ter obtido resposta igual a 1 em todos os itens da questão 02, relacionada às aproximações laterais.

Ainda em relação à questão 5 verificou-se, por meio da análise dos questionários, que alguns alunos realizaram corretamente as construções das tabelas de aproximações laterais, mas ao esboçarem os gráficos não levaram em consideração os valores obtidos. Apenas uma aluna conseguiu esboçar o gráfico corretamente.

A comprovação de que os alunos não conseguiram estabelecer relações conceituais e numéricas entre os valores encontrados para as funções no primeiro bloco de atividades e os gráficos plotados no segundo bloco, ficam evidentes ao comparar os resultados obtidos nas questões 3 e 6. Na questão 3, 26% dos alunos determinaram o limite da função corretamente por meio da análise lateral e apenas 11% não conseguiram obter êxito na análise. Por outro lado, quando foi solicitado na questão 6 que eles esboçassem o gráfico da função proposta na questão 3 nenhum aluno realizou essa tarefa corretamente. Ressalta-se ainda que, 74% dos acadêmicos se quer tentou esboçar o gráfico; os poucos que fizeram a atividade, esboçaram retas (a partir da determinação de pontos obtidos pela construção de novas tabelas) ou parábolas (considerando apenas a função quadrática descrita no numerador da função racional dada).

Desta forma, percebe-se que o ensino da forma tradicional (aulas expositivas centradas no professor como transmissor do conhecimento, quadro e giz) por si só, não tem alcançado plenamente seus objetivos, pois além das dificuldades conceituais, algébricas e geométricas apresentadas pelos acadêmicos, existe a compartimentalização e disjunção dos saberes. Neste estudo verifica-se isso, visto que vários alunos obtiveram conclusões diferentes para o mesmo exercício e o mais grave, em nenhum momento questionaram-se como isso era possível.

Bloco de atividades 03: Introduzindo e utilizando o software Maple

Antes dos alunos refazerem as questões com auxílio do Maple foi realizado um minicurso, com duração de duas aulas, para apresentação do software aos alunos a fim de se familiarizarem com a ferramenta em questão. Eles puderam fazer algumas manipulações durante este tempo, resolvendo alguns exemplos e utilizando comandos específicos, apresentados pela professora.

Na aula seguinte, durante a realização do terceiro bloco de atividades, que consistia em os alunos refazerem os exercícios usando o Maple, foi possível perceber que os acadêmicos estavam mais comprometidos e motivados, uma vez que a utilização de ferramentas computacionais nas aulas desta turma não era algo corriqueiro.

Os acadêmicos desenvolveram as atividades solicitadas de forma tranquila e rápida.  Alguns alunos questionaram como podiam delimitar o gráfico (restringir o domínio e a imagem da função) e se haviam comandos específicos para determinar as raízes. Outros estudantes exploraram alguns dos ícones presentes no software e descobriram como poderia ser utilizado o ícone específico de limites.

Vale ressaltar que o software foi utilizado também para o desenvolvimento de atividades relacionadas aos conteúdos de derivadas e integrais.

Ao término da disciplina os acadêmicos puderam expressar sua opinião a respeito da utilização do software nas aulas por meio do questionário abaixo:

Quadro 02: Questionário aplicado aos alunos

Fonte: Autoria própria (2015)

Em relação à primeira questão, ao serem questionados sobre o método que possuem mais dificuldade para a determinação do limite de uma função, 41% dos alunos afirmaram ser o de construção e análise gráfica, o que vem de encontro com os dados obtidos nas questões 04, 05, e 06 no segundo bloco de atividades.

Neste sentido Nasser (2007, p. 01) confirma que um dos obstáculos para a aprendizagem de Cálculo decorre das dificuldades encontradas pelos alunos no traçado de gráficos. Segundo a pesquisadora, esse obstáculo também é de natureza didática, consequência da ausência de um trabalho prévio com o traçado e a análise de gráficos no ensino básico, gerando uma insegurança nos primeiros períodos do curso superior. (2007, p. 01)

Visto a dificuldade para o esboço de gráficos, 88% dos alunos concordam parcialmente ou totalmente que a utilização do software Maple facilitou para a determinação dos limites pela análise gráfica e que se o mesmo tivesse sido usado como ferramenta desde o início da disciplina o desempenho na aprendizagem do conteúdo teria sido mais efetivo, conforme evidencia-se nas falas de alguns alunos, cuja identidades serão preservadas e por este motivo serão identificados nesta pesquisa como Aluno A, Aluno B, Aluno C e Aluno D:

Quadro 03: Relato de alguns alunos

Fonte: Autoria própria (2015)

Observa-se pelos depoimentos descritos no Quadro 03 que a utilização do software Maple permitiu que os educandos pudessem testar suas hipóteses de maneira mais rápida facilitando na análise dos limites, todavia fica claro que a utilização do software deve ser combinado com outras metodologias ou outros processos para que a aprendizagem realmente ocorra. Em particular, infere-se que:

a leitura e a interpretação de um gráfico torna-se fundamental, pois possibilita a compreensão do problema ou da questão tratada. A problematização realizada a partir dos gráficos obtidos no microcomputador é muito importante, pois possibilita ao aprendiz buscar respostas aos questionamentos formulados.  (Baruffi & Lauro, 2001, p. 8)

Em resumo, acredita-se que computador deve ser usado para ajudar a desenvolver o raciocínio dos educandos, possibilitando assim a capacidade de reflexão e construção de novas ideias nos alunos.

6. Considerações finais

A exploração do software matemático Maple possibilitou verificar o aumento do grau de interesse e envolvimento dos alunos do curso de Administração nas aulas da disciplina de Matemática Aplicada à Administração.

Além do desenvolvimento de um trabalho mais autônomo pelos acadêmicos verificou-se durante a realização do terceiro bloco de atividades, onde os alunos desenvolveram os limites através software Maple, que os mesmos participaram mais ativamente das discussões, testavam hipóteses, realizavam experimentos, formulavam novos problemas e pensavam em estratégias distintas para solucioná-los. Esses fatores contribuíram para que ocorresse uma melhora na compreensão e assimilação de limites, o que teve como reflexo melhores resultados nas avaliações que se seguiram durante o curso.

Entretanto, é importante ressaltar que a inserção da tecnologia nas aulas desta disciplina requer planejamento por parte do docente e o mesmo precisa ter clareza de que o software deve ser usado como uma ferramenta capaz de estimular novos raciocínios e que os métodos tradicionais não devem ser descartados, mas sim reestruturados, afinal,

quando decidimos que a tecnologia informática vai ser incorporada em nossa prática, temos que, necessariamente, rever a relevância da utilização de tudo o mais que se encontra disponível. Certamente, ao fazermos nossas opções, corremos o risco de deixar de lado certas coisas que julgávamos importante. Mas, aqui, novamente, é preciso considerar qual é o objetivo da atividade que queremos realizar e saber se ela não pode ser desenvolvida com maior qualidade pelo uso, por exemplo, de um software específico. Não significa que vamos abandonar as outras mídias, mas temos que refletir sobre sua adequação. (Borba, 2012, p.64).

Desta forma, o uso de apenas uma metodologia, a tradicional, não parece ser a melhor opção. É necessário buscar uma reformulação na educação com o intuito de preparar nossos alunos a desenvolver o senso crítico, o pensamento improvável e dedutivo, a capacidade de observação, de pesquisa, estratégia de comunicação, conexão de conceitos, contribuindo para o desenvolvimento mental dos educandos.

Ferramentas tecnológicas como o computador, projetor multimídia e a calculadora têm sido usadas por professores com o objetivo de aumentar a eficácia do ensino, porém, muito ainda é preciso ser feito. É claro que, a tecnologia não vem para substituir materiais como o giz, a lousa, o caderno etc., e sim ser uma ferramenta a mais para o desenvolvimento de novas metodologias para o ensino da Matemática; uma ferramenta que permita enfatizar as conexões entre diferentes áreas, como Álgebra e Geometria, religando os conhecimentos que tem sido abordados de forma fragmentada e estanque.

Referências Bibliográficas

BARBOSA, M. A. O Insucesso no Ensino e Aprendizagem na Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. 2004. 101 f. Dissertação (Mestrado em Educação). Pontifícia Universidade Católica do Paraná, Curitiba, 2004.

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1. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Pato Branco Email: ezarpelon@utfpr.edu.br
2. Email: eloagermano@gmail.com
3. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Ponta Grossa. Email: sanirutz@gmail.com

4. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Ponta Grossa. Email: lmresende@utfpr.edu.br

5. Universidade Estadual de Maringá. Email: macedane@yahoo.com